Problem：给定n件物品，每一件物品有价值vi和重量wi，给定一个容量为W的箱子，要求用在不超过箱子容量的前提下，装入价值尽可能多的物品。

这个问题分为两个版本，一种是fractional，即每件物品是可拆分的，另一种是01类型的，即每件物品要么全拿要么不拿。

Fractional版本：这个版本的问题存在得到最优解的贪心算法，属于P问题，即多项式可解。

贪心算法：按照对物品进行降序排序，放入背包中，使得背包充满。这个算法考虑每一价值的带价，选取性价比最高的物品优先放入，那么最后一件物品可能只会放入部分。现实中的问题表现为考试，假设我们计算每一题的时间不同，比如第一题是三角函数，第二题是解析几何，那么在相同分数的情况下，我们会选择先做三角函数（花费时间更少）。最后的解析几何能做多少就多少，按做出部分给分（对应fractional）。

01版本：属于NPC问题，只存在approximation算法。Approximation分两种思路，DP解法和贪心算法，先看贪心算法

（1） 按照对物品进行降序排序，假设新的顺序为物品1，物品2…物品n

（2） 找到k使得 前k个物品的重量不大于W，前k+1个大于W

（3） 设S1 = 前k个物品的价值和, S2 =第k+1个物品的价值, V=max (S1, S2)

（4） return V

这是一个2-approximation算法，证明：

设该问题的最优解为V，假设我们把问题的W给为W’=前k+1个物品的重量和，那么在新的问题下将会是最优解，这是因为首先选择的物品均是性价比最高的，而且正好充满了背包。因为我们将背包size调大，那么新问题的最优解肯定大于等于原问题的最优解，即，V⇐前k+1个物品的价值和。又S1+S2=前k+1个物品的价值和，所以V>=一半的（前k+1个物品的价值和)，（因为两个数中的较大者肯定不小于其和的一半）。所以我们可以得到V*⇐2V，得证。