转自：[https://keelii.github.io/2017/02/19/basic-operations-of-relation-algebra/](https://keelii.github.io/2017/02/19/basic-operations-of-relation-algebra/)

## 关系代数运算符

**集合运算符**

| 运算符 | 含义     | 英文              |
| ------ | -------- | ----------------- |
| ∪∪     | 并       | Union             |
| −−     | 差       | Difference        |
| ∩∩     | 交       | Intersection      |
| ××     | 笛卡尔积 | Cartesian Product |

**比较运算符**

| 运算符 | 含义     |
| ------ | -------- |
| >>     | 大于     |
| ≥≥     | 大于等于 |
| <<     | 小于     |
| ≤≤     | 小于等于 |
| ==     | 等于     |
| ≠≠     | 不等于   |

**专门的关系运算符**

| 运算符 | 含义 | 英文       |
| ------ | ---- | ---------- |
| σσ     | 选择 | Selection  |
| ππ     | 投影 | Projection |
| ⋈⋈     | 链接 | Join       |
| ÷÷     | 除   | Division   |

**逻辑运算符**

| 运算符 | 含义 |
| ------ | ---- |
| ∧∧     | 与   |
| ∨∨     | 或   |
| ¬¬     | 非   |

## 5 种基本的关系代数运算

### 并（Union）

关系 R 与 S 具有相同的关系模式，即 R 与 S 的元数相同（结构相同），R 与 S 的并是属于 R 或者属于 S 的元组构成的集合，记作 R ∪ S，定义如下：

R∪S={t|t∈R∨t∈S}R∪S={t|t∈R∨t∈S}

### 差（Difference）

关系 R 与 S 具有相同的关系模式，关系 R 与 S 的差是属于 R 但不属于 S 的元组构成的集合，记作 R − S，定义如下：

R−S={t|t∈R∨t∉S}R−S={t|t∈R∨t∉S}

### 广义笛卡尔积（Extended Cartesian Product）

两个无数分别为 n 目和 m 目的关系 R 和 S 的 笛卡尔积是一个 (n+m) 列的元组的集合。组的前 n 列是关系 R 的一个元组，后 m 列是关系 S 的一个元组，记作 R × S，定义如下：

R×S={t|t=<(tn,tm)∧tn∈R∧tm∈S}R×S={t|t=<(tn,tm)∧tn∈R∧tm∈S}

(tn,tm)(tn,tm) 表示元素 tntn 和 tmtm 拼接成的一个元组

### 投影（Projection）

投影运算是从关系的垂直方向进行运算，在关系 R 中选出若干属性列 A 组成新的关系，记作 πA(R)πA(R)，其形式如下：

πA(R)={t[A]|t∈R}πA(R)={t[A]|t∈R}

### 选择（Selection）

选择运算是从关系的水平方向进行运算，是从关系 R 中选择满足给定条件的元组，记作 σF(R)σF(R)，其形式如下：

σF(R)={t|t∈R∧F(t)=True}σF(R)={t|t∈R∧F(t)=True}

## 实例

设有关系 R、S 如图所示，求 R∪SR∪S、 R−SR−S、 R×SR×S、 πA,C(R)πA,C(R)、 σA>B(R)σA>B(R) 和 σ3<4(R×S)σ3<4(R×S)

![关系表RS](../../../../ff_internal_upload/img/2021/58a95fceNddd39fd7.png)

进行并、差运算后结果如下：

![并差](../../../../ff_internal_upload/img/2021/58a967b1N42db123f.png)

进行笛卡尔、 投影、 选择运算后结果如下：

![笛卡尔_投影_选择](../../../../ff_internal_upload/img/2021/58a9685dN20af0b9b.png)

## 扩展的关系代数运算

### 交（Intersection）

关系 R 和 S 具有相同的关系模式，交是由属于 R 同时双属于 S 的元组构成的集合，记作 R∩S，形式如下：

R∩S={t|t∈R∧t∈S}R∩S={t|t∈R∧t∈S}

### 链接（Join）

注：下面的 θ 链接应该记作：![theta链接](../../../../ff_internal_upload/img/2021/58aa580aNe9908740.png)

#### θ 链接

从 R 与 S的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组，可由基本的关系运算笛卡尔积和选取运算导出，表示为：

R⋈XθYS=σXθY(R×S)R⋈XθYS=σXθY(R×S)

XθY 为链接的条件，θ 是比较运算符，X 和 Y 分别为 R 和 S 上度数相等且可比的属性组

例如：求 R⋈R.A<S.BSR⋈R.A<S.BS，如果为：

![theta链接小于过程](../../../../ff_internal_upload/img/2021/58aa5b1fN3e2316d5.png)

#### 等值链接

当 θ 为「=」时，称之为等值链接，记为： R⋈X=YSR⋈X=YS

#### 自然链接

自然链接是一种特殊的等值链接，它要求两个关系中进行比较的分量必须是 **相同的属性组**，并且在结果集中将 **重复的属性列** 去掉

例如：设有关系 R、S 如图所示，求 R⋈SR⋈S

![关系RS](../../../../ff_internal_upload/img/2021/58aa5ffaN970f7e5a.png)

先求出笛卡尔积 R×SR×S，找出比较分量（有相同属性组），即: R.A/S.A 与 R.C/S.C

![求出笛卡尔积](../../../../ff_internal_upload/img/2021/58aa6066Nd003e697.png)

取等值链接 R.A=S.AR.A=S.A 且 R.C=S.CR.C=S.C

![找出相同属性的比较分量](../../../../ff_internal_upload/img/2021/58aa60e8N38a84108.png)

结果集中去掉重复属性列，注意无论去掉 R.A 或者 S.A 效果都一样，因为他们的值相等，结果集中只会有属性 A、B、C、D

![结果集中找出重复属性列](../../../../ff_internal_upload/img/2021/58aa612eN043f7425.png)

最终得出结果

![RS自然链接结果](../../../../ff_internal_upload/img/2021/58aa617eN2457f536.png)

### 除（Division）

设有以下如图关系，求 R÷SR÷S

![关系RS1](../../../../ff_internal_upload/img/2021/58aaaf3bN1cae8b1a.png)

取关系 R 中有的但 S 中没有的属性组，即：A、B

![关系RS1取属性AB](../../../../ff_internal_upload/img/2021/58aaaf81N0b2491b5.png)

取唯一 A、B 属性组值的象集

![关系RS1取属性AB对应的象集](../../../../ff_internal_upload/img/2021/58aaafe6N8297b49f.png)

可知关系S存在于 a,b/c,k 象集 中。即 R÷SR÷S 得

![关系RS1除结果](../../../../ff_internal_upload/img/2021/58aab058N3a3c374d.png)